非线性模型

Y与X之间存在线性关系，但是Y和参数

对于非线性回归分析，只有参数的线性回归分析才是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决 。

(1)Y与解释变量不存在线。Y与未知参数也不存在线性关系，但可以通过适当的变换将其化为标准的线性叫归模型。

例1柯布-道格拉斯生产函数。生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。也就是说，生产过程中总投入与总产出之间的一种函数关系。经济学中，柯布-道格拉斯生产函数(C-D生产函数)是指产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数。该生产函数由美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H.Douglas)共同创立而得名，是经济学中普遍使用的生产函数。其形式为：

式中，Y表示产出；K和L分别表示资本投入和劳动力投入，A表示技术系数，

将C-D生产函数经对数变换。转换为如下形式：

(2)Y与X不存在线性关系，Y与未知参数也不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型。

在现实生活中，并非所有非线性函数形式都可以线性化，那些不能线性化的模型一般形式为：

如果解释变量X的单位变动引起因变量的变化率

非线性模型的一般形式是：

Y与X之间不存在线性关系，但Y与参数

非线性模型是反映自变量与因变量间非线性关系的数学表达式。设随机变量为Y， 若可表示为：

此结构称为非线性模型， 其中

非线性模型的形式多种多样， 依建立模型的方法不同可分为：①推理模型。根据具体学科理论揭示的变量间相互关系用数学分析的方法建立模型， 如Logistic模型等，这类模型具有一定的生物学基础，其参数具有确定的生物学意义。②经验模型。对某些变量无法推理方法得到或经推理得到但过于复杂的变量间关系，可利用适当的数学关系式直接拟合变量间关系，建立纯经验性模型，如奶牛泌乳曲线等，这类模型的参数多数没有直接的生物学意义， 使模型的应用受到一定的限制。

依描述变量间关系的常用数学函数形式分为：指数模型、对数模型、幂函数模型、Logistic模型、二次函数模型以及由此构成的复合模型等。

处理非线性模型首先是建立或选择适当的模型，然后是确定模型中所包含的参数， 其参数估计的基本原则仍是最小二乘估计，方法通常有三种：①变量变换法。通过某种数学转换将非线性模型化为线性模型，即“曲线改直”或利用线性多项式逼近，该法简单易行，具有一定的实用价值。②非线性回归法。根据最小二乘原则使误差平方和最小，对非线性模型直接求解，常用的是Gauss-Newton法及在此基础上改进的Marquardt法，可通过各种迭代法直接估计模型常数，这是处理非线性模型最为常用的方法。③直接优化法。直接利用非线性模型计算剩余平方和并以其最小为优化目标函数寻求最优回归系数， 常用的是单纯形优化法。

在畜牧业中非线性模型常用于研究各种变量间的非线性回归拟合、动物生长曲线、奶牛泌乳曲线及产蛋曲线等。随着计算方法及手段的极大改进，非线性模型的应用得到迅速发展 。

假定根据理论或经验，已估计输出变量与输入变量之间的非线性表达式，但表达式的系数是未知的，要根据输入输出的n次观测结果来确定系数的值。处理非线性回归的基本方法是，通过变量变换，将非线性回归化为线性回归，然后用线性回归方法处理。

非线性模型指数函数模型

指数函数模型为：

令

非线性模型对数函数模型

对数函数模型为：

令

非线性模型双曲线函数模型

双曲线函数模型为：

令

非线性模型S型曲线函数模型

S型曲线函数模型为：

令

非线性模型多项式模型

在只有一个自变量的情况下，多项式模型如下：

在非线性模型预测控制中，系统模型是非线性的，因此，相应的预测模型也是非线性的，设非线性系统的模型：

其中，

其中，i=1,2,...。

通过递推，可以得到非线性系统的预测模型：

由于实际受控系统总包含某些不确定因素，利用上述模型预测，不能完全精确地描述对象的动态行为，因此可以在实测输出的基础上通过误差预测和补偿对预测模型进行反馈校正。记 k 时刻测得的实际输出为 y(k)，则可由

其中，

式中， w( k i)为 k i 时刻的期望输出，M，P 的含义与线性预测控制相同。这样，在线的滚动优化就是在闭环预测（下式）的约束下，

非线性模型预测控制采用线性化方法

线性化方法是研究非线性系统的常规方法。将非线性系统局部线性化主要是为了沿用线性系统中已有的成果，计算简单，实时性好。对于非线性较强的系统，用单个线性化模型很难反映系统在大范围内的动、静态特性，控制品质甚至稳定性都难以保证。因此实际处理时，有以下三种线性化方法。

（1）将非线性机理模型在每个采样点附近线性化，然后对线性化的模型采用线性的预测控制算法，其特点是在每个采样时刻都采用新的模型，能尽量减小线性化带来的误差。但是频繁的在线更换模型会导致需要反复计算相关矩阵参数，计算量加大，且不利于离线对控制器的参数进行优化设计。

（2）多模型方法。顾名思义，就是引入区间近似的思想，用多个线性化的模型来描述同一个非线性的对象。多模型方法的优点在于可以离线的计算大部分控制参数，难点则是如何确定模型切换的时机以及保证模型切换时的平稳性。

（3）反馈线性化（即就是 I/O 扩展线性化）的方法，即对非线性系统引入非线性反馈补偿律，使非线性系统对虚拟控制输入量实现线性化，便可以使用线性的 MPC方法。也有许多非线性系统不满足反馈线性化的条件，使其应用受到限制。

非线性模型预测控制利用各种特殊模型

常用的非线性模型包括 volterra 模型、Hammerstein 模型、Wiener 模型等。volterra模型为非线性对象的广义脉冲响应模型，可以描述一类非线性对象的输入输出特性，实际应用中常采用正、负和双阶跃响应法建立系统的 volterra 模型。Hammerstein 模型和 Wiener 模型都是由一个非线性的静态子系统和一个线性的动态子系统串联而成，二者的区别是串联的顺序不同。

非线性模型预测控制基于神经网络的预测控制

神经网络以其分布式存储、并行处理、良好的鲁棒性、自适应性、自学习性，在控制界具有广阔的应用前景。由于神经网络能够以良好的精度逼近非线性函数，且基于神经网络的建模方法具有普遍性，因此在非线性预测控制中受到重视，相关的研究成果也比较多。

关于采用神经网络的预测控制，存在的困难也比较多，主要是还不能有效地进行多步预测，而通常来说多步预测的控制效果要明显优于单步预测。尽管将多个神经网络串联可以得到多步的输出预测，但这样会增加控制器的复杂程度，直接影响控制量的求解。同时，如果需要在线进行模型辨识，那么在线的网络训练需要较长的时间，控制的实时性变差。

预测控制算法最初是对线性系统提出的。当对象存在弱非线性时，采用这种线性预测控制算法也是十分有效的，因为弱非线性可视为一种模型失配，其影响可通过系统的鲁棒性设计加以克服；必要时，还可通过在线辨识和自校正策略修改模型和控制律，以适应因弱非线性而引起对象特征的变化。但是几乎所有的实际控制系统都是非线性的，尤其是在实际的工业生产过程中，涉及的对象往往都是多输入多输出的复杂系统，具有很强的非线性，由于采用线性模型进行预测输出与实际偏离较大，达不到优化控制的目的，模型线性化这一方法显然不适用，因而必须基于非线性模型进行预测和优化。因此，提出了非线性模型预测控制方法。