反对称矩阵

实反对称矩阵(real antisymmetric matrix)一种反对称矩阵.

定义1 设A是一个n阶方阵,如果AT=-A,则称A为反对称矩阵.

性质1 任何一个n阶矩阵A,均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C。

性质 2 若 A 是反对称矩阵,则其主对角线上的元素全为零.

证明 由定义 1 可知成立.

性质 3 设 A , B 为 n 阶反对称矩阵, k 为常数 , l 为正整数 ,则:

(1) A ±B , kA , AB - BA 为反对称矩阵.

(2) AB 为对称矩阵的充要条件为 AB = BA .

(3)当 l 为奇数时 , A l 为反对称矩阵,当 l 为偶数时 , A l 为对称矩阵.

证明 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可.

性质 4 设 A 是任一 n 阶矩阵 ,则 A - A T 必为反对称矩阵.

证明 因为( A - A T) T = A T - ( A T) T = A T - A = - ( A - A T) ,所以 A - A T 为反对称矩阵.

性质 5 设 A 是奇数阶反对称矩阵 ,则| A| = 0.

证明 因为| A| = | A T| = | - A| = - | A| ,所以| A| = 0.

性质 6 设 A 是 n 阶反对称矩阵, B 是 n 阶对称矩阵,则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵.

证明 由定义直接验证即可.

性质 7 设 B 为 n 阶实矩阵 ,则 B 为反对称矩阵的充要条件为对任意 n 维列向量 X ,均 有 X TB X = 0.

证明 必要性:因为 B 为反对称矩阵,所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = X TB X ,从而 X TB X = 0. 充分性 :令 B = ( bij) n ×n ,取 X = ei + ej ,其中 ei 表示第 i 个分量是 1 ,其余分量为 0 的 n元列向量. 则 X TB X = ( eT i + eT j ) B ( ei + ej) = eT i Bei + eT i Bej + eT j Bei + eT j Bej = eT i Bej + eT j Bei = bij + bji = 0. 所以 bij = - bji , i , j = 1 ,2 , ⋯, n. 从而 B 为反对称矩阵.

性质 8 设 A 为 n 阶反对称矩阵, A*为其伴随矩阵,则 n 为偶数时, A*为反对称矩阵;n 为奇数时 , A*为对称矩阵.

性质 9 设 A 为 n 阶可逆反对称矩阵 ,则 n 为偶数 ,且 A - 1也是反对称矩阵.