多元样条的力学模型及其应用

图书简介

本书构造性地研究了多元样条函数的力学模型及其在几何造型领域的某些应用.内容包括:一元样条及其力学模型;多元样条理论;矩形剖分、三角剖分、圆扇形剖分上多元样条的力学模型和基于力学原理的几何造型方法等.

本书可作为应用数学、计算数学等专业研究生的教学参考书，也可供从事几何设计、计算力学、计算机辅助设计与制造(CAD/CAM/CAE)等领域的科学技术人员参考使用.

前言

样条函数一般定义为具有一定光滑度的分段或分片多项式函数.样条函数作为逼近工具，已广泛应用于数据分析、计算机图形学、计算机辅助设计与制造、微分与积分方程数值解等科学与工程计算的各个领域.1946年,I.J.Schoenberg系统地研究了一元样条函数,并指出一元三次样条函数的力学观点,即弹性细梁在集中载荷作用下小挠度弯曲变形曲线,这也是"样条函数"命名的由来.从样条函数的力学观点出发,根据弹性力学中的最小势能原理,J.C.Holladay于1957年证明了自然三次样条的最光滑性质.由此可知,样条函数与力学之间有着天然的联系.1977年,J.Duchon从约束优化角度出发,以泛函的观点对一元样条作了多元推广,满足插值条件并令弯曲能取极小,得到二维情形下的所谓薄板样条(thin-platespline).薄板样条本质上已不是分片多项式意义下的样条函数,而是一种径向基函数.1975年,王仁宏从研究相邻两个多项式之间光滑性与整除性的关系入手,引入"光滑余因子"及"协调条件"建立了任意剖分上多元样条的基本理论框架,开创了研究多元样条的代数几何方法，取得了丰富的研究成果.多元样条的"光滑余因子协调法"在样条空间的维数、基函数组的构造等方面具有重要作用，并被列为"多元样条研究的几个流派之一".

从弹性力学及板壳理论出发,引入"分段线载荷"构造性地建立了多元样条与力学的联系，本书称之为"多元样条的力学模型".研究所涉及的剖分包括矩形剖分、三角剖分及圆扇形剖分等,外力包括力偶、均布载荷及集中载荷等多种情形，并在简单剖分中对"光滑余因子"及"协调条件"给出了力学解释.其中圆扇形剖分上多元样条力学模型的研究，旨在建立多元多项式样条与薄板样条(径向基函数)之间的联系.

本书是我们近十年研究成果的整理和总结，较为系统地介绍了多元样条的力学模型及其应用.全书共6章，第1章介绍了一元样条及其力学模型，特别对一元三次样条给出了力学上的求解.第2章是多元样条基本理论概述，主要介绍"光滑余因子协调法"，B样条方法和B网方法只介绍基本概念.第3、4、5章分别介绍了矩形剖分、三角剖分和圆扇形剖分上多元样条的力学模型，包括薄板分片纯弯曲、简支多边形薄板分片弯曲、圆形板分片弯曲等，对于正三角剖分上的5次样条，揭示出其中蕴含着黄金分割，值得进一步深入探讨.第6章介绍了基于力学原理的几何造型方法，特别是基于曲面弯曲能量约束的造型方法.

感谢国家自然科学基金、河北省自然科学基金对本书的大力支持，在研究工作期间，本人获得河北省优秀专家出国培训项目的支持，到美国宾夕法尼亚州立大学访问学习一年，使得研究工作更为深入，在此对河北省人力资源与社会保障厅的资助表示感谢.本书的诸位作者是国家精品课程、国家精品资源共享课程"数值计算方法"的骨干教师，也是华北理工大学计算数学优秀教学团队的核心成员，十分感谢学校对我们的一贯帮助和支持.华北理工大学计算几何讨论班的研究生为书稿的整理和校对付出了辛勤的劳动，在此一并致谢.最后，衷心感谢王仁宏教授、吴宗敏教授、杜强教授长期以来对我的指导和关心.

由于时间仓促，加之水平所限，书中难免会有不足和谬误之处，敬请专家、读者批评指正，我们将不胜感激.

作者

2016年3月

编辑推荐

本书是国内外系统地研究多元样条力学模型的第一本专著，引入"分段线载荷"构造性地建立了多元样条与力学的联系，并将结果推广到矩形剖分、三角剖分、圆扇形剖分上的二元样条函数，为多元样条在几何造型、计算机辅助设计与制造等方面的应用提供了新的观点和参考。

目录

第1章一元样条及其力学模型

1.1一元样条函数理论分析

1.1.1一元样条函数

1.1.2一元B样条函数

1.2梁的弯曲变形原理

1.3一元样条函数的力学模型

1.3.1样条力学模型与梁纯弯曲

1.3.2悬臂梁模型

1.3.3外伸梁模型

1.4外力偶与控制顶点的对应关系

1.4.1插值曲线的力偶求解

1.4.2力偶与deBoor控制点的关系

1.5本章小结

第2章多元样条与薄板弯曲理论概述

2.1光滑余因子协调法

2.2B网方法

2.3多元B样条

2.4薄板弯曲理论

2.4.1直角坐标系下的薄板弯曲理论

2.4.2圆扇形板的弯曲变形

2.5本章小结

第3章矩形剖分上多元样条的力学模型

3.1S12(Δmn)与薄板纯弯曲

3.1.1薄板纯弯曲

3.1.2均匀矩形剖分

3.1.3非均匀矩形剖分

3.1.4一般矩形剖分

3.1.5进一步讨论

3.2矩形剖分上二元三次样条的力学模型

3.2.1S23(Δmn)的力学模型

3.2.2S13(Δmn)矩形剖分

3.3本章小结

第4章三角剖分上多元样条的力学模型

4.1S1,03(Δ(1)c)与简支多边形薄板弯曲

4.1.1板弯曲化成薄膜的挠度问题

4.1.2简支等边三角形板的弯曲

4.1.3简支菱形板的弯曲

4.1.4简支正六边形板的弯曲

4.1.5简支矩形板的弯曲

4.1.6一般可三向剖分域上简支薄板的弯曲

4.2S13(Δ(1)mn)力学模型的进一步讨论

4.2.1自由边界

4.2.2简支边界

4.2.3一般情况

4.3正三角剖分上S3,05与均载薄板弯曲

4.3.1板弯曲问题的化简

4.3.2均载简支菱形板的弯曲

4.3.3简支正六边形板的弯曲

4.3.4S35的变分性质

4.3.5样条中的黄金分割

4.4本章小结

第5章圆扇形剖分上多元样条的力学模型

5.1柱面坐标系下的Bzier曲面

5.1.1旋转BernsteinBzier曲面

5.1.2柱面坐标系下张量型的BernsteinBzier曲面

5.2柱面坐标系下的混合Bzier曲面

5.2.1混合Bernstein基函数及性质

5.2.2混合Bzier曲面及性质

5.2.3混合Bzier曲面的造型应用

5.2.4混合造型其他形式

5.3柱面坐标系下的均匀B样条曲面

5.3.1旋转均匀B样条曲面

5.3.2柱面坐标系下张量型均匀B样条曲面

5.4扇形剖分上的多元样条

5.4.1环形样条及其剖分形式

5.4.2圆形域上的样条

5.5环形剖分上样条的力学模型

5.5.1对称圆形板理论

5.5.2S12型环形板理论

5.5.3S13与S23型环形板理论

5.5.4圆形板与环形板的S02与S12型环形板理论

5.6扇形样条的力学模型

5.6.1S12型样条的力学模型

5.6.2环扇形域上三次样条的纯弯曲模型

5.6.3环扇形域上三次样条的非纯弯曲力学模型

5.7圆形域上样条的力学模型

5.7.1S12型样条的力学模型

5.7.2S13型样条的力学模型

5.8本章小结

第6章样条力学模型的应用

6.1一元样条函数的能量泛函

6.2二元样条函数的能量泛函

6.3矩形板的广义能量泛函

6.4能量优化法曲面造型

6.4.1能量优化法原理

6.4.2曲面能量模型的处理

6.4.3边界曲线约束的曲面造型

6.4.4参数曲面片约束的曲面造型

6.5薄板样条与圆形板的轴对称弯曲问题

6.5.1薄板样条

6.5.2圆形板的轴对称弯曲问题

6.6本章小结

参考文献