电路的状态变量分析系统状态方程的求解

电路的状态变量分析连续时间系统状态方程的求解

求解状态方程有时域和变换域两种解法，此处以变换域求解为例介绍其求解方法。

（a）矩阵形式的状态方程为：

其中I是n×n的单位矩阵。如果(sI-A)是可逆的，则有

对上式进行拉普拉斯反变换得：

（b）输出方程的一般形式为：

（c）系统函数

当

所以系统函数矩阵为：

矩阵H(s)第l行第k列元素Hlk(s)确定了系统第k个输入对第l个输出的贡献。

电路的状态变量分析离散时间系统状态方程的求解

（a）已知离散时间系统的状态方程和输出方程为：

将上式两边取z变换，得：

对上式进行逆反变换得：

（b）输出方程的一般形式为

电路的状态变量分析连续时间系统状态方程的普遍形式

如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合。即：

如果用矢量矩阵表示，即状态方程为：

其中，C为r×n的输出矩阵，D为r×m的矩阵。

电路的状态变量分析离散系统的状态方程普遍形式

如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合。

状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态变量以及联系它们之间关系的A、B、C、D矩阵组成。即，状态方程和输出方程可以简写为：

电路的状态变量分析建立动态电路的状态方程的步骤

（1）我们一般以独立电容电压及独立电感电流作为状态变量；

（2）需要对含有一个电容同时允许包含电感、电阻及电流源的节点（或者割集）列写KCL方程。

对含有一个电感同时允许包括电容、电阻和电压源的回路列写KVL方程，即可列出系统的状态方程。因为状态方程的左边是状态变量的导函数

（3）上述所列方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的节点电流方程或回路电压方程将它们消去然后整理成一般形式。

此外，还可以通过信号流图或模拟框图来间接列写系统的状态方程。

用状态变量分析系统的优点在于：

(1) 便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。

(2) 这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于描述多输入-多输出系统。

(3) 由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。

状态：

对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量（称为状态变量）。只要知道 时这组变量和时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间的行为。

状态变量：

能够表示系统状态的那么变量称为状态变量。

状态矢量：

能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成了状态矢量。如一个二维矢量：

状态空间：

状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。

状态轨迹：

在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。

状态方程：

描述状态变量变化规律的一组一阶微分方程组。各方程的左边是状态变量的一阶导数，右边是包含有系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

输出方程：

描述系统输出与状态变量之间的关系的方程组。各方程左边是输出变量，右边是包括系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

对于离散时间系统，其状态变量和状态方程的描述类似，只是状态变量都是离散量，因而状态方程是一组一阶差分方程，而输出方程则是一组离散变量的线性代数方程。

以上图二阶电路为例，其状态方程组可以写为：

注意：一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的，且是最少个数的。

用系统图解方程的一种方法。能决定系统的将来行为的一个系统变量的极小集，称为系统的状态变量集。由系统图的一个特征树可得到一个系统变量集及相应的微分方程组，这样求解系统的方法称为状态变量法。在电路分析中应用状态变量法即为电路的状态变量分析。

对于电路分析而言，注意以下两点：

第一，用任意瞬时的状态值和在此以后的激励可以唯一地确定的任意时的状态。

第二，用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。

其中用来定义电路状态的变量，则称为状态变量。

电路的状态变量分析连续系统稳定性判别

上式的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况。只要知道它的根落在s平面的左半平面，系统就是稳定的。

电路的状态变量分析离散系统稳定性判别

如果系统稳定，则要求矩阵A的特征值

采用特征根判别系统的稳定性时，需要求解系统的特征根。如果遇到高阶方程，求解特征根的计算有一定的复杂性。对于二阶线性定常系统，可以不用求出特征根而直接判别二阶线性定常系统稳定性的充要条件。

【定理】如果一个特征多项式为

当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于平面的单位圆中时，系统稳定的充分必要条件为：

从电路分析的角度看。最主要的有以下三种分析法。

（1）直流分析（DC analysis）；

（2）交流分析（频域分析，AC analysis）；

（3）暂态分析（时域分析，Transient analysis）；

其他的分析法都是基于这三种模拟分析方法建立的。

电路模拟直流分析

求解电路直流工作点的运算叫做直流分析。在信号放大电路中，直流工作点为大家所熟知。那就是电路带电而信号为零时的工作状态。此时电路各点的电流、电压就称为电路的直流工作点。其他电路并不一定实际存在这样意义的工作点。可以认为，模拟仿真中的直流工作点的概念是信号放大电路的直流工作点的延伸。在电路模拟仿真领域中，这样一个工作点为各种电路的分析提供了一个平台。在进行交流分析或暂态分析之前，都要进行直流分析计算，以确定非线性元件线性化的基点。因此，成功的直流分析是电路模拟仿真成功的关键。

一般来说，直流工作点是一个静态的工作点。所谓静态就是没有变化，即出di/dt，du/dt均为零，亦即是一个平衡点。可以推知，在平衡点工作状态下，所有的电感、电容都不存在充放电，且所有电源都稳定在一个定值上。因此，在进行直流工作点计算时，电路作下列处理：

（1）所有电源都取定值。用户可以按自己的需要决定一个初始值，如无须特别安排程序将零点值取为初始值；

（2）所有的电容开路；

（3）所有的电感短路。

电路模拟交流分析

在电路分析中，一个重要的问题是电路的频率响应如何，或者说电路的传递函数是什么。交流分析就是为解答这个问题而设的。交流分析对电路进行小信号频域分析，其激励信号为频域正弦信号，因而可以使用相位法进行计算。在相位法中，电感、电容都是复数，电流、电压也是复数，整个运算都在复数域进行。

在进行交流分析前，直流分析必须完成，以确定交流分析的基点。在进行交流分析时，电路中所有的非线性元件即在这个直流工作点上进行线性化。需知，因为线性化，所有非线性引起的畸变及限幅均未计入模拟，同时所有的时变效应亦未计入模拟。而响应是对正弦激励而言的，整个电路的频率是统一扫描的。

当电路进行交流分析时，程序自动将电路中的电感、电容用复数输入，这不需要用户考虑。用户需要考虑两个方面的问题：一是激励源在何处；二是频率扫描的范围和输出的格式。

激励源的位置就是用户考虑为输入的地方。激励源可以有多个，但在计算中都是统一扫描的，不可能进行混频。在进行交流扫描时，除了直流电源之外，所有电路中其他的时域电源都不激活。因此，在建立仿真电路时，频域交流激励源可以附设在其他电源上，一般采用单位幅值、相角为零的激励源。这样，在输出端计算所得的响应就是增益了。

交流分析的运算成功率颇高。因为非线性元件都是在同一直流工作点线性化的，没有新的收敛性问题。电感、电容只是随频率改变，亦无收敛性的问题。相位法的运算，精度也颇高。因此交流分析的收敛性取决于此前的直流分析，其结果的正确性和精确度取决于元件模型的正确性和精确度。

交流分析的输出量都是复数。在曲线图输出中，EESIM已作了后续处理，化为模和相角输出。交流扫描的范围就是用户想要观察的频率范围，输出的格式也是随用户需要而定。EESIM配备了线性、对数及分贝格式输出。交流分析的输出就是电路的波特图，很方便地用于观察电路的增益、传递函数、输入及输出阻抗，以及系统的稳定性。

电路模拟暂态分析

暂态分析用于求解电路在运行的不同时刻下的行为，由此可以观察电路中的电流、电压等电气量的波形，也就能观察电路中的波动、干扰、噪声、启动、故障、过渡过程等暂态现象。它是电路模拟仿真的重要手段。

非线性系统含非线性元件。暂态分析就是要在每一个瞬时求解非线性系统，因而每一步都需进行线性化和数值积分。电路暂态分析的程序流程如图1所示。

在前面的直流工作点分析中已经指出，直流工作点分析为暂态分析提供一个初始状态。从图1可见，暂态分析开始之前就要进行直流工作点分析，其结果作为暂态分析的初始条件。在某些情况下，暂态并不是从其直流工作点出发，如考虑时间零点时电容已充电、电感已储能等，就要人为地设定初始条件，此时使用“．IC”指令。

数值积分的方法很多，各有其优缺点和适用范围。在电路模拟仿真中主要使用的有下列几种：

（1）向前欧拉法；

（2）向后欧拉法；

（3）梯形法；

（4）基尔法。

第1章 电路的基本概念和定律

1.1 电路和电路模型

1.1.1 电路及其功能

电流流过的回路叫做电路，又称导电回路。最简单的电路，是由电源、负载、导线、开关等元器件组成。电路导通叫做通路。只有通路，电路中才有电流通过。电路某一处断开叫做断路或者开路。如果电路中电源正负极间没有负载而是直接接通叫做短路，这种情况是决不允许的。另有一种短路是指某个元件的两端直接接通，此时电流从直接接通处流经而不会经过该元件，这种情况叫做该元件短路。开路（或断路）是允许的，而第一种短路决不允许，因为电源的短路会导致电源、用电器、电流表被烧坏。

电路（英语：Electrical circuit）或称电子回路，是由电器设备和元器件, 按一定方式连接起来，为电荷流通提供了路径的总体，也叫电子线路或称电气回路，简称网络或回路。如电源、电阻、电容、电感、二极管、三极管、晶体管、IC和电键等，构成的网络、硬件。负电荷可以在其中流动。

1.1.2 理想电路元件

1.1.3 电路模型

电路模型是实际电路抽象而成，它近似地反映实际电路的电气特性。电路模型由一些理想电路元件用理想导线连接而成。用不同特性的电路元件按照不同的方式连接就构成不同特性的电路。

电路模型近似地描述实际电路的电气特性。根据实际电路的不同工作条件以及对模型精确度的不同要求，应当用不同的电路模型模拟同一实际电路。

这种抽象的电路模型中的元件均为理想元件。

练习与思考

1.2 电流、电压及其参考方向

1.2.1 电流及其参考方向

1.2.2 电压及其参考方向

练习与思考

1.3 电功率与电能

1.3.1 电功率

1.3.2 电能

练习与思考

1.4 电阻元件

1.4.1 电阻元件及伏安特性

1.4.2 电阻元件的功率

练习与思考

1.5 电压源与电流源

1.5.1 电压源

1.5.2 电流源

练习与思考

1.6 基尔霍夫定律

1.6.1 基尔霍夫电流2100433B

内容简介

一个是天体，一个是电路，还一个是脉冲，他们仨怎么会走到一起？欲知个中缘由，且看《天体物理电路分析脉冲分析》 好吧，仨方向的牛人。。。