点电荷计算方法

点电荷库仑定律

对非点电荷间的相互作用力，可看成许多点电荷间相互作用力的叠加．静止点电荷对运动点电荷的作用力可用库仑定律计算，但运动点电荷对运动点电荷的作用力一般不能用库仑定律计算 。

两静止点电荷间的相互作用是通过静电场产生的。

在国际单位制里，电荷量的符号用Q表示，单位是库伦(C)。

点电荷电场

点电荷的场强公式

点电荷电势与电势能

点电荷的电势

点电荷的等势面是一簇“近密远疏”的同心球壳，这一规律与其电场线的规律也是相似的。同时也体现了场强大处电势差大，即“场强大处电压高”的特点。

点电荷的电势能

就字面上理解，“点电荷”就是带电体，是一个没有大小和形状的几何点。而电荷又全部集中在这几何点上。事实上，任何带电体都有其大小和形状，真正的点电荷是不存在的，它像力学中的“质点”概念一样，纯属一个理想化模型。不过，当我们在研究带电体间的相互作用时，如果带电体本身的几何线度比起它们之间的距离小得很多，那么，带电体的形状、大小和电荷分布对带电体之间的相互作用的影响就可以忽略不计。在此情况下，我们仍可以把带电体抽象成点电荷模型。也只有这样，“电荷之间的距离”这一概念本身才有完全确定的意义。从此角度看，点电荷又是一个相对性概念。为了能对点电荷的相对性认识得更充分、更深刻，我们不妨再以均匀带电圆盘中心轴线上的场强公式为例来加以说明。均匀带电圆盘轴线上任一点的场强公式为：

式中ε是真空中的介电常数，σ是圆盘上的电荷面密度，R为圆盘半径，x是轴线上所论点到圆盘中心的距离。

当R≫x，即对于轴线上所论点看来可以认为均匀带电圆盘为“无限大”时，所论点的场强等于E=σ/2ε，相当于无限大带电平面附近的电厂，可看成是均匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。

若x≫R，则按二项式定理展开并略去Rx的高幂项，即得：

式中q=σπR²是圆盘所带电量。由此可见，当圆盘轴线上所论点到圆盘中心的距离与圆盘本身的大小相比为很大时，所论点的场强与带电量q的圆盘其中心的一个点电荷在该点所产生的场强相同。

这里特别值得一提的是，点电荷决不像有些人认为的那样，一定是一个带有很少电量的带电体。点电荷可以是电量很小，也可以是电量很大。另外，正像力学中可以把任何物体看作质点的集合一样，任何带电体都可以看作是点电荷的集合。由此，若相互作用的不是点电荷而是有限大带电体，则原则上总可将带电体看成是由无限个点电荷元所组成的连续点电荷系，然后再利用适用点电荷相互作用规律的库仑定律，通过求和或积分求出两带电体之间的相互作用力。在中学物理中，如果未特别指出带电体的形状、大小，则为简便起见，一般都把此带电体当作点电荷来处理。

作为一种特殊情况，有时带电体的大小虽然在研究问题中不能忽略，但带电体形状比较规则，具有对称性，以至电荷分布也具有对称性。这时，带电体对外所显的电特性往往跟一个等效点电荷的电特性相同。于是，我们也可以把此带电体等效成一个点电荷来处理。譬如，一个有限大均匀带电的球体，它在球外各点的电场和电势与一个与其带等量电荷，位置在其球心的点电荷所产生的电场一模一样。正因为如此，在求球外任一点的电特性或求两带电球体的相互作用力时，我们才把它们均看作是电量全部集中在球心的点电荷。事实证明，这样处理问题既简捷又可靠。

点电荷是带电体的一种理想模型。如果在研究的问题中，带电体的形状 、大小以及电荷分布可以忽略不计 ，即可将它看作是一个几何点，则这样的带电体就是点电荷。一个实际的带电体能否看作点电荷，不仅和带电体本身有关，还取决于问题的性质和精度的要求。与质点、刚体等概念一样，点电荷是实际带电体的抽象和近似，它是建立具有普遍意义的基本规律的不可或缺的理想模型，又是把复杂多样的实际问题转化或分解为基本问题时必不可少的分析手段。例如，库仑定律、洛伦兹力公式的建立，带电体产生的电场以及带电体之间相互作用的定量研究，试验电荷的引入等等，都离不开点电荷 。

实际的带电体(包括电子、质子等)都有一定大小，都不是点电荷．当电荷间距离大到可认为电荷大小、形状不起什么作用时，可把电荷看成点电荷。

储存于点电荷系统内的电势能。

电势能单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

电势能双点电荷系统

一个质子受到的另一个质子的电场力F和电势能Er随距离r变化的示意图。

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷的位置为坐标系的原点，则根据库仑定律，点电荷q1施加于位置为r的第二个点电荷q2的电场力为

也可以表示成

其中，

在迁移点电荷q2时，如果r减小，那么机械能或动能等转化为电势能；如果r增加，那么其电势能转化为动能。如图所示：

在远距离情况下，有

运动方向与电场力F相反，故为-F。因此总的电势能增加量为曲线积分

在近距离情况下，

因此

点电荷电势能

点电荷电场中，点电荷的电势能：

点电荷电势

点电荷电场中，一点的电势：

当φA>0时，q>0,则Ep>0,q<0,则Ep<0;

当φA<0时，q>0,则Ep<0,q<0,则Ep>0.

功

沿电场线正向运动一定距离电场力做的功。

匀强电场或点电荷电场中，点电荷沿电场线正向运动一定距离，电场力做的功：

电势能变化量

（1）电场力做的功与电势能变化量

起点和终点状态静止的点电荷，电场力做功与电势能变化量的关系：

电势能的变化量也可以表示为△Ep=Epb-Epa，因此有Wab=-△Ep 。

（2）动能变化量与电势能变化量

根据能量守恒定律还可以得到，一般情况下，无外力做功的运动电荷，动能变化量与电势能变化量的关系：

如果是外力使电势能增加，那么其他形式的能转化为电势能，外力做正功，电场力做负功，电势能增加；

如果是电场力使物体运动，那么电势能转化为动能，电场力做正功，物体动能增加，电势能减小；

如果是物体运动使电势能增加，那么动能转化为电势能，物体动能减少，电场力做负功，电势能增加。