电场能量密度

有些教材讲该结论适合一切电场。平行板电容器的电场只是无数电场中的一个特例, 用该场推导的结论不一定具有普遍性，所以有学者又用其他方法推导公式来验证此结论。下面首先对静电场中的一些能量公式进行分析对比, 指出静电能是电势能、自能或固有能、相互作用能的统称, 静电场的能量就是激发静电场的带电体系总的静电能。

电场能量密度电势能、相互作用能

静电场是保守力场或势场, 检验电荷q0在静电场中某点p 的电势能可表示为

式中Up 是静电场中p 点的势能。q0 的电势能实际上是检验电荷和静电场(或产生静电场的场源电荷)构成的带电体系所共有的,所以电势能也称带电体系的相互作用能, 又称带电体系的静电能, 属于该带电体系总静电能的一部分.

电场能量密度自能

一个孤立的带电体其静电能称为自能或固有能。用做功的方法来定义,设物体带电量为Q 时, 其电势为U , 则带电体整个荷电过程中, 外界反抗电场力所做的功转化为该带电体的静电自能W , 写成

同相互作用能比较可知, 带电体的自能本质上是带电体上各部分电荷之间的相互作用能。

电场能量密度电荷连续分布的带电体系的静电能

这种体系可以是一个带电体或若干个带电体, 各带电体的自能再加上它们之间的相互作用能便是整个带电体系的总静电能。设带电体的体积为V , 电荷分布的体密度为ρ(x , y , z), 其总静电能为:

积分遍及带电体全部体积V 。U 为被积带电体体积元所在处的电势, 此电势是所有其它带电体及被积带电体积元电荷共同产生的。

电场能量密度用电力线管推导电场能量及其能量密度：

从带电体系的总静电能出发, 导出带电体系的静电场能量, 进而得到静电场的能量密度。设有m 个电荷连续分布的带电体构成带电体系。导体1 的电荷为Q1 , 导体2 的电荷为Q2 ...导体m 的电荷为Qm。设想电场空间的电力线由无限多电力线管构成, 每一个电力线管在导体表面上的面积为ds , 如图1所示。

对于任意考察的电力线管L , E·ds 为一定值, 等于通过电力线管截面的电通量。其中E 是电力线管中各点的电场强度, ds 为场强E 所在点的电力线管的截面积, ds 指向电力线方向。对于连接导体j 和导体k 的任意电力线管L , dsj 沿电力线方向, dsk 与电力线方向相反, 如图2所示。

以上讨论的是真空中的静电场, 对于线形电介质中的静电场, 可以考虑电位移线管,对于任一考察的电位移线管,都可以得到

详细推导过程请查看文献‘用电力线管推导电场能量及电场能量密度’。

电场能量密度运用元电容概念分析

在任意自由空间中的静电场可用电通量管来描述电场的结构，每个电通量管内电通量线的根数是固定的，整个空间是由无穷个小点通量馆组成的。可假想每个电通量管是无数个理想平行板电容器即元电容串联的集合。由于空间不存在自由电荷，可假设通量管中元电容极板的每个平板在它两个面上有相等而符号相反的电荷，因而在电通量管中不存在净电荷。

对每个元电容不许考虑边缘效应，因为每个局部元电容中的场被周围元电容中的场加以保护。这样任意一个自由空间是由无数个元电容组构成的一个电容结构，而每个元电容都相当于一个无限大平行板电容器。所以用理想平行板电容器的均匀场研究空间电场能量分布具有普遍意义。2100433B

一平行板电容器的两极间距d比极板面的线度小很多时，可忽略边缘效应，看成一个无穷大的理想平行板电容器。板间不填充任何介质，加有直流电压

极板上面电荷密度为

由此可求出电场能量密度为

单位体积内的磁场能量称为磁场能量密度。定义式：ω=W/V=(BH)/2。其中V是体积，B是磁感应强度，H是磁场强度，H=B/μ。

磁场建立过程中本身储存的能量。简称磁能。在一个线圈中建立磁场，电流从零增加到稳定值的过程中，电源要反抗自感电动势做功，与这部分功相联系着的能量称为自感磁能。若在两个存在互感作用的线圈中分别通入电流时，电源除反抗自感电动势做功外，还要反抗线圈间的互感电动势而做功，和反抗互感电动势做功相联系的能量称为互感磁能。可以证明自感线圈中储存的磁能为Wm=1/2LI2。式中L是线圈的自感系数，I是其中通过的电流。对于空心长螺线管(近似看作无限长)，其自感系数L=μ₀n2V。式中n是单位长度上线圈的匝数，V是螺线管的体积。将上式代入自感线圈的磁能公式得Wm=1/2(μ₀n2V)I2。由公式可知自感磁能与螺线管的体积有关。长螺线管中磁场是均匀的，磁场能量应在线圈所围体积内均匀分布，所以单位体积中的磁能为wm=wm/V=₁/2BH(因为B=μ0nI，H=n_l)。wm称为磁场能量密度，简称磁能密度。一般写成wm=1/2B·H。磁能密度的数学表述虽由特例推出，但可以证明它是普遍成立的。对于非均匀磁场每一点的磁能密度仍用上式表示，只是场中各点的值不同而已。在非均匀磁场中，若求磁场的总磁能，可以表述为：Wm=VwmdV=1/2V(B·H)_dV。以上所述是在稳恒磁场中的情况，这时磁能总与电流相伴随，把磁能看成是与电流相联系还是储存在磁场中，两种观点效果完全相同。但在变化的电磁场中，磁场可以脱离电流而存在，这种磁场也具有能量，其磁能密度的表达式仍为wm=1/2B·H。在一般情况下，变化电磁场以波的形式传播，在传播过程中同时也传播着能量，所以能量储存在磁场中的观点是正确的。

存在于载流导体、永久磁体、运动电荷或时变电场等周围空间的，以磁感应强度表征的一种特殊形式的物质。磁场的物质性，可由它的如下许多特性显示出来：磁场具有能量;磁场对运动电荷、载流导体有作用力;导线在磁场中运动或处在时变磁场中都将在导线中引起感应电动势，发电机、变压器就是根据这一原理制成的;在磁场的作用下，磁致伸缩材料会发生变形，呈现磁致伸缩现象;将载流导体置于磁场中，导体的横向两侧将出现电位差，即产生霍耳效应;磁场可使载流导体或半导体的电阻发生变化，即产生磁致电阻效应，等等。描述磁场的基本物理量是磁感应强度B和重要的辅助量磁场强度H。

恒定磁场和时变磁场在空间某区域内，若各处的磁感应强度的量值和方向都不随时间变化，该区域中的磁场称恒定磁场，否则称时变磁场。时变磁场总是和时变电场相互关联，以电磁波的形式存在。研究某一区域中的时变磁场时，若电磁波的波长远大于区域的线度尺寸，则可忽略位移电流对磁场的作用，这种时变磁场称似稳磁场。大多数电力设备中的时变磁场可以认为是似稳磁场。

均匀磁场和非均匀磁场任何时刻，若空间某区域内各处的磁感应强度的量值和方向都相同，称区域中的磁场为均匀磁场，否则称非均匀磁场。

媒质的磁化位于磁场中的媒质将产生磁化效应。为宏观描述媒质的磁化状态及其对外磁场的影响，引入了磁场强度这一概念。磁感应强度和磁场强度的关系，常用磁化曲线表示。电机工程中，在许多场合下，只考虑铁磁材料的磁化;非铁磁材料的磁化很弱，一般不予考虑，即认为这种材料的磁导率和真空磁导率相同。

磁场的基本规律磁场具有如下的基本规律。

磁通量的连续性穿过任何闭合面的磁通量等于零(见磁通量)。

磁场强度的环路积分规律磁场强度沿闭合路径的线积分，等于穿过以该闭合路径为周界的曲面上的全电流(见磁场强度)。

磁场的能量密度在线性媒质中，单位体积内的磁场能量或磁场能量密度，等于(B·H)/2。

媒质分界面处磁场量满足的条件在媒质1和媒质2的分界面上有：①媒质1、2的磁感应强度的法向分量B_1n、B_2n连续，即B_1n=B_2n;②媒质1、2的磁场强度的切向分量H_1t、H_2t之差，等于分界面上的面电流密度Js(Js的方向垂直于H_1t和H_2t)，即H_1t-H_2t=Js。不存在面电流时，H_1t、H_2t连续。