常微分方程和动力系统若干问题的研究

研究弱希尔伯特第十六问题，阿贝尔积分的零点问题，以及奇异向量场的各种开折问题；研究动力系统的唯一正规形，Neimark-Sacker分岔和相应Liapunov量的计算，以及分岔在金融模型中的应用：研究C（1）流的熵理论，使之既能量度C（1）流的复杂程度，又能成为等价C（1）的不变量。上述研究在理论和应用中有重要意义。

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解 。

线性常微分方程待定系数法

考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：

它的通解是：

由于非齐次的部分是

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是 ：

线性常微分方程常数变易法

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解

两边求导数，可得：

我们把函数u₁、u₂加上一条限制：

于是，代入上式，可得：

两边再求导数，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y₁和y₂都是齐次方程的通解，因此

将(2)和(5)联立起来，组成了一个

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

其中，W表示朗斯基行列式。

一阶线性微分方程的多种解法及其教学问题：

对应的齐次线性方程为 ：

本项目拟对流体力学中出现的微宏观模型（流体/粒子系统和凝聚态复杂流体），粘弹性流体模型以及dipersive Navier-Stokes方程等耦合方程的整体适定性以及模型的渐进性态等若干问题进行研究。对于多尺度模型，项目的研究主要集中在利用微宏观方程的耦合效应，找出系统强解的爆破机制，建立爆破时空估计并证明系统整体解的存在性和稳定性。同时也将研究耦合系统长时间的渐进行为以及相应的的收敛速度。另外，基于全局存在性的结果，将研究从cut-off Boltzmann方程出发到dispersive Navier-Stokes方程的流体力学极限过程，并建立极限过程的全局误差估计。本项目对上述问题的研究，有助于对现实中流体的物理现象的认识，并能不断完善和发展新的理论，从而既可以对指导实际问题提供重要的参考价值又可以不断丰富偏微分方程的理论内容。