冲激响应

IIR滤波器的特征是其输出y(n)由当前的和过去的输入信号x(n)及过去的输出信号共同决定。

无限冲激响应数字滤波器只能实现为递归型结构，故也称为递归型数字滤波器。同一转移函数的无限冲激响应数字滤波器可以实现为不同的网络结构，如直接型、并联型、级联型等。高阶数字滤波器通常实现为以一阶和二阶基本节结构为基础的级联型或并联型结构，以降低系数灵敏度。

无限冲激响应数字滤波器的设计方法主要有两种:一种是采用映射方法将具有相应特性的模拟滤波器转换为数字滤波器;另一种是用计算机辅助优化设计实现具有特定幅度、相位特性要求的数字滤波器。无限冲激响应数字滤波器可以用单片数字信号处理器(DSP)实时实现，也可以用只读存储器和加法器组成的查表法结构实时实现。对于同样幅频特性的要求，采用无限冲激响应数字滤波器实现，所需的阶次要远小于有限冲激响应数字滤波器。这类滤波器在通信设备中，有广泛的应用。

对单位冲激的输入信号的响应为无限长序列的数字滤波器。按所处理信号的类型，可分为一维、二维或多维无限冲激响应数字滤波器。

无限冲激响应数字滤波器转移函数的极点应位于z平面的单位圆内，以保证滤波器的稳定性。这类数字滤波器实现为递归型结构，故又称一维递归型数字滤波器。图1为递归型数字滤波器采取一种直接型结构的信号流图。为便于调整并降低系数灵敏度，高阶滤波器通常实现为以一阶和二阶直接型为基础的级联型或并联型。 无限冲激响应数字滤波器的设计方法主要有两类。一类是根据模拟滤波器设计理论，由模拟滤波器特性或结构导出数字滤波器转移函数或结构，较典型的有冲激响应不变法和双线性变换法。另一类是直接在z域中应用计算机辅助设计法。

冲激响应不变法 使所设计数字滤波器的单位冲激响应，等于具有给定频响特性的模拟滤波器的冲激响应的抽样值。这一方法的特点是数字信号频率和模拟信号频率之间的变换呈线性关系。但这种方法限于设计具有限带特性的数字滤波器。

双线性变换法 利用变量z与复频率变量s的双线性变换关系,将s平面的左半平面及其实频率轴映射到z平面上的单位圆内及其圆周上。这一方法的特点是s平面上的值与z平面上的值呈单值的对应关系，因此这种方法适于设计具有各种频响特性的数字滤波器，不致发生频谱混叠现象。但是，z平面的频率和s平面频率之间具有非线性关系，致使数字滤波器的频响特性与所要求的频响特性发生频率畸变,即卷绕现象。但是,一般要求滤波器通带特性为平坦的频响特性，因此，双线性变换法是一种有效的、应用较为普遍的设计方法。

上述设计方法是以设计原型归一化低通滤波器为基础，经频率变换导出所要求性能的数字滤波器。频率变换可以在s域进行，也可以在z域进行。

在z域直接用计算机辅助设计方法 应用优化方法来调整数字滤波器转移函数的系数或零极点位置，使得所设计的数字滤波器频响特性与所要求特性的误差为最小。在设计过程中需要采取措施，使得每次叠带所得到的转移函数的极点位于单位圆内，以保证滤波器的稳定性。

由于运算的有限字长效应，递归型结构有可能出现极限环振荡现象。这是由于运算字长的舍入而引入的非线性作用，使数字滤波器在零输入时有振荡输出。因此，人们正研究设计低灵敏度的、稳定的无限冲激响应数字滤波器，并已取得一定成果。

二维无限冲激响应数字滤波器 通称二维递归型数字滤波器，用以处理二维数字信号序列。二维递归型数字滤波器有因果的四分之一平面型和半平面型两种。图2为因果的四分之一平面型低通滤波器幅谱特性。图3为半平面型扇形特性的数字滤波器幅谱特性。 二维递归型数字滤波器的设计方法有频域法和空间域法两种。频域法设计主要是寻求一个满足频域给定指标要求的稳定的无限冲激响应数字滤波器转移函数。这种设计有两类方法:一是谱变换法;另一是计算机辅助优化方法。空间域法设计主要是寻求一个转移函数，使其冲激响应在有限区域内逼近给定的二维冲激响应。二维递归型数字滤波器设计的主要问题是稳定性问题。二维数字滤波器的设计理论和方法尚不完善，特别是稳定的、高阶二维递归型数字滤波器设计还有待进一步研究。