CAD中综合性样条的理论及应用研究结题摘要

本项目围绕综合性样条的特性，对CAD中的曲线曲面进行了深入而广泛的研究，发展了若干经典理论，提出了新方法。 在曲线研究方面，注重发挥综合性样条的多样性和简便性的特性，也重视发掘它的几何特性。首先，吸取了Lengdre理论的精华，把以Bernstein函数为基础的正交多项式的构造方法，加以深化，并将其推广到综合性样条，用作构造以综合性的UE-Bézier基为基础的拟Lengdre正交多项式；再推广到B样条空间，用作构造以样条函数为基础的具有显式表示的一组Lengdre型的正交基，从而丰富了Lengdre方法的内容。其次，从提取多项式全正性的几何要素着手，运用几何方法，发现了NUAT-B样条、综合性UE样条都具有全正性，进而具有近乎严格的全正性，并给出了简单、直观、初等的证明方法，从而扩大了全正基的范围，充实了全正性的理论。用变次数B样条的观点，审视C-B样条和综合性UE样条曲线的升阶过程，提出了升阶算子，由此克服升阶不能分段进行的困难，揭示其间隐含几何意义，解决了升阶矩阵的二对角随机矩阵的分解难题，为矩阵的分解提供了直观的有效的几何方法等。 在曲面研究方面，着重研究了用非多项式的函数构造三角域上曲面时所需要的定义空间，在三角域上建立多类型的三角曲面片理论，以改变仅用二元多项式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定义P-Bézier基函数的一元三角函数线性空间，推广到二元函数，构造二元的线性三角函数的空间，建立具有权性、对称性、边界性的二元线性拟P-Bézier型的基函数。由此，定义边界是P-Bézier曲线的拟P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制网格的方法表示三角域上由三角函数刻划的曲面片。接着，把四阶C-Bézier基的一元混合函数定义空间，也推广到二元混合函数，构造了一组与二元三次Bernstein多项式有相同的权性，端点性的基函数，从而定义了三角域上的四阶拟Bézier曲面，可以插值角点，无需用有理的形式，以圆弧作边界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圆弧边界不足。又进一步为了球的表示，将二元线性拟P-Bézier型基发展为P-Bézier型的三角域上的五阶的P-Bézier基，可以用三角形的控制网格表示球面片和整个球。 此外，在极小曲面、PH曲线、变次数样条显式表示、迭代逼近算法、图像处理、图形模拟等方面开展了研究，取得了不少成果。 2100433B

本项目研究综合性样条的理论与应用。综合性样条是近年来才出现的样条的新品种，其特点是兼有多样性与简便性。多样性指一条样条曲线上有多种类型的曲线段存在；简便性指样条曲线的求导要简单，计算要稳定、方便。NURBS具有多样性，但不具备简便性；B样条虽有简便性，但缺少多样性。相比之下，综合性样条的优点是突出的。本项目的研究难点，在于综合性样条定义空间的构造,无现成研究样条的方法可循。为此，本项目首先要创造新方法，构造该空间。该空间要具有联合性与可变性。联合性要求该空间能融合多个空间于一个整体；可变性能使综合性样条曲线曲面可以从其中的一个空间变到另外一个空间。其次要在该空间中构造具有权性，局部支撑性的B基。该基应具有可变性。通过可变性统一多样性和简便性，最后，要研究综合性样条曲线曲面的性质，发扬多样性、利用简便性，建立富有特色的理论体系，要设计高效算法，使其在CAD和逆向工程应用中发挥巨大的作用。

用样条构造复杂几何模型是当今CAD发展面临的一大挑战。应对挑战的出路是建立新的几何数学模型，点集B样条应运而生。点集B样条具有能在任意点集上定义，与点集三角化无关，亦无需添加辅助节点等优点，它还包含一元B样条为特殊情况。因此，点集B样条能克服张量积B样条和以往非张量积样条的缺点，其构造复杂曲面的潜力是突出的。本项目首先深入研究基于Delaunay结构的单形样条空间的逼近性质并提出有效算法。其次，总结已有样条的构造经验，提出新的点集B样条空间。该空间要可以在任意点集上定义，其中包括重节点和均匀节点的情况，基函数要具有权性与线性无关性等基本性质。再次，要设计点集B样条的高效求值、求导、求积等应用算法，发挥其可以在任意点集上构造曲面的特点，建立富有特色的理论体系。最后，将点集B样条理论初步用于解决地球科学中的重力场重构问题，推动学科间的交叉合作，使点集B样条在CAD、地球科学等领域中发挥作用。

构造适合复杂几何造型的几何模型是当今样条理论发展急需解决的问题之一。本项目深入研究了基于Delaunay结构的单形样条（DCB样条）的性质，首次提出了DCB样条在球面参数域上的推广，设计了球面域上定义的样条函数节点子集的高效计算方法与自适应的节点插入方法；推广了DCB样条的构造，克服了DCB样条控制顶点几何意义不明确的缺点，设计了两种几何直观性强的点集B样条曲面构造方法，并提出有效的计算方法。一是从三角网格出发构造连续的有理样条曲面的方法，得到的曲面以输入的三角网格为控制网格，其形状与控制网格相近，且可通过直接调整控制顶点位置来修改；二是从点集上直接定义样条函数，通过增加适当的辅助控制顶点，使得到的点集B样条曲面的控制网格具有三角网格的拓扑结构。深入研究了新的点集B样条的理论及算法，将其应用于解决三维离散数据的拟合等问题。在数据拟合的应用中，优化了点集B样条的节点集合的选取方法，使得样条空间的构造依据拟合数据的潜在信息，如几何特征、拟合误差等来构造，从而使得点集B样条曲面在构造几何特征等方面比DCB样条具有优势。深入研究了点集B样条节点设置的变分方法理论，将其思想推广到二维、三维空间及一般流形曲面上，用于高质量的网格生成、分片函数逼近等问题。 2100433B

本项目围绕PH曲线和OR曲线的几何理论及在CAD中的应用问题进行了深入而广泛的研究， 在原有非常有限的几何理论上进行了大力扩充，提出了解决问题的新方法。 •在PH曲线研究方面， 我们原创性地提出了获取任意次数PH曲线边角分离几何结构描述的特有方法。 这种方法不仅适用于已有的三次和四次PH曲线，而且可用于任意高阶PH曲线。我们聚焦探讨了六次与七次PH曲线，得到与之对应的边角分离的几何充要条件表述。演绎出判别具有不同顶点的控制多边形的Bezier曲线是否为PH曲线的几何判别算法。 只要验证控制多边形的一组边长关系和一组角度关系， 就能作出明确的判断结果。与传统代数方法相比，更为简洁、直观、明了。 同时，将产生的PH曲线的几何理论付诸于解决实际问题。 具体包含： 有关PH曲线曲率单调性的充分条件研究，而所获结论可很好地处理过渡曲线的构造问题； 基于六次PH曲线的C1插值构造；基于七次PH曲线的G3、C3插值构造；基于PH曲线或PH样条曲线的圆锥曲线逼近和螺旋曲线逼近。 本项目的研究成果很好地落实了PH曲线的内在性，体现了直观性，实现了分离性，增强了交互性，推广了应用性。 •在OR曲线研究方面， 由于OR曲线长期以来侧重于代数结构的研究，而几何结构方面的研究成果严重缺乏，这表明OR曲线的几何理论研究同样遇到很大的困难，成了长期未解决的难题。经过本课题的研究，突破了长期以来由于方法上的困扰所带来壁垒，取得较大成果。具体包含：解决了一类三次OR曲线的几何特征描述。 这些特征条件仅用控制多边形的边长和内角就能直观表述, 并以此进行G1插值；解决了五次OR曲线的构造，并用于实践。 •本项目除了在以PH曲线和OR曲线为核心问题的研究取得很大成果以外， 还扩展了与之相关的研究。 此外，在极小曲面造型、曲线插值、特殊基函数等研究方面都取得不少成果。 2100433B