CAD中PH曲线的几何理论及其应用研究项目摘要

本项目研究PH等曲线的几何理论，发掘它们特有的几何特征，并应用于CAD领域。.PH曲线优点突出，应用广泛。但目前仅三次、四次和五次本原这三种PH曲线的几何特征为人所知。换言之，在应用中，只有这三种曲线的几何手段得到充分发挥；除此以外，对Bezier曲线行之有效的几何手段在PH曲线的范围内都受到限制，满足不了实际需要。本项目要改变此局面，使受限制的几何手段对PH曲线同样起作用。.PH曲线的几何理论是CAGD的难题，长期以来未找到解决方法。近年，有了突破。本项目是原创性研究，要创造新的研究方法，发现上述三种以外的PH曲线的本质属性在控制多边形上的反映，以边长与角度刻画之。从而建立起直观性强、操作方便、表示简洁的几何理论，使得运用几何手段可以对PH曲线作判别，可以在PH曲线范围内作交互设计，像使用Bezier曲线一样方便、灵活、有效。再深入地研究OR曲线以及它们生成的样条等曲线的几何理论。

本项目围绕PH曲线和OR曲线的几何理论及在CAD中的应用问题进行了深入而广泛的研究， 在原有非常有限的几何理论上进行了大力扩充，提出了解决问题的新方法。 •在PH曲线研究方面， 我们原创性地提出了获取任意次数PH曲线边角分离几何结构描述的特有方法。 这种方法不仅适用于已有的三次和四次PH曲线，而且可用于任意高阶PH曲线。我们聚焦探讨了六次与七次PH曲线，得到与之对应的边角分离的几何充要条件表述。演绎出判别具有不同顶点的控制多边形的Bezier曲线是否为PH曲线的几何判别算法。 只要验证控制多边形的一组边长关系和一组角度关系， 就能作出明确的判断结果。与传统代数方法相比，更为简洁、直观、明了。 同时，将产生的PH曲线的几何理论付诸于解决实际问题。 具体包含： 有关PH曲线曲率单调性的充分条件研究，而所获结论可很好地处理过渡曲线的构造问题； 基于六次PH曲线的C1插值构造；基于七次PH曲线的G3、C3插值构造；基于PH曲线或PH样条曲线的圆锥曲线逼近和螺旋曲线逼近。 本项目的研究成果很好地落实了PH曲线的内在性，体现了直观性，实现了分离性，增强了交互性，推广了应用性。 •在OR曲线研究方面， 由于OR曲线长期以来侧重于代数结构的研究，而几何结构方面的研究成果严重缺乏，这表明OR曲线的几何理论研究同样遇到很大的困难，成了长期未解决的难题。经过本课题的研究，突破了长期以来由于方法上的困扰所带来壁垒，取得较大成果。具体包含：解决了一类三次OR曲线的几何特征描述。 这些特征条件仅用控制多边形的边长和内角就能直观表述, 并以此进行G1插值；解决了五次OR曲线的构造，并用于实践。 •本项目除了在以PH曲线和OR曲线为核心问题的研究取得很大成果以外， 还扩展了与之相关的研究。 此外，在极小曲面造型、曲线插值、特殊基函数等研究方面都取得不少成果。 2100433B

本项目围绕综合性样条的特性，对CAD中的曲线曲面进行了深入而广泛的研究，发展了若干经典理论，提出了新方法。 在曲线研究方面，注重发挥综合性样条的多样性和简便性的特性，也重视发掘它的几何特性。首先，吸取了Lengdre理论的精华，把以Bernstein函数为基础的正交多项式的构造方法，加以深化，并将其推广到综合性样条，用作构造以综合性的UE-Bézier基为基础的拟Lengdre正交多项式；再推广到B样条空间，用作构造以样条函数为基础的具有显式表示的一组Lengdre型的正交基，从而丰富了Lengdre方法的内容。其次，从提取多项式全正性的几何要素着手，运用几何方法，发现了NUAT-B样条、综合性UE样条都具有全正性，进而具有近乎严格的全正性，并给出了简单、直观、初等的证明方法，从而扩大了全正基的范围，充实了全正性的理论。用变次数B样条的观点，审视C-B样条和综合性UE样条曲线的升阶过程，提出了升阶算子，由此克服升阶不能分段进行的困难，揭示其间隐含几何意义，解决了升阶矩阵的二对角随机矩阵的分解难题，为矩阵的分解提供了直观的有效的几何方法等。 在曲面研究方面，着重研究了用非多项式的函数构造三角域上曲面时所需要的定义空间，在三角域上建立多类型的三角曲面片理论，以改变仅用二元多项式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定义P-Bézier基函数的一元三角函数线性空间，推广到二元函数，构造二元的线性三角函数的空间，建立具有权性、对称性、边界性的二元线性拟P-Bézier型的基函数。由此，定义边界是P-Bézier曲线的拟P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制网格的方法表示三角域上由三角函数刻划的曲面片。接着，把四阶C-Bézier基的一元混合函数定义空间，也推广到二元混合函数，构造了一组与二元三次Bernstein多项式有相同的权性，端点性的基函数，从而定义了三角域上的四阶拟Bézier曲面，可以插值角点，无需用有理的形式，以圆弧作边界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圆弧边界不足。又进一步为了球的表示，将二元线性拟P-Bézier型基发展为P-Bézier型的三角域上的五阶的P-Bézier基，可以用三角形的控制网格表示球面片和整个球。 此外，在极小曲面、PH曲线、变次数样条显式表示、迭代逼近算法、图像处理、图形模拟等方面开展了研究，取得了不少成果。 2100433B

本项目系统地研究了面向CAD的图形多约束理论、方法及其应用，提出了多约束关系识别、理解与自组织的三大基本原理，提出了约束关系自组织的一系列新概念和新方法，提出并实现了8大基本约束种类及其形成的一系列新算法，应用图形多约束理论与方法进行工程图扫描图象整体识别，应用图形多约束理论与方法进行零件图装配图一体化设计，提出并实现了基于约束关系自组织的离线参数化技术。上述各项研究成果中，应用图形多约束理论与方法进行工程图扫描图象整体识别与基于约束关系自组织的离线参数化技术是两项实质性的突破，已得到学术界同行的肯定与认可。本项研究在国内外学术期刊和学术会议上共发表论文十六篇。 2100433B