边界条件简介

如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x₀取给定的值，即y(x₀ )=y₀，y′(x₀)= y₀′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题；

而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在某个给定区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B，则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。

边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件；B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件；A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。

总体来说，

第一类边界条件：

给出未知函数在边界上的数值；

第二类边界条件：

给出未知函数在边界外法线的方向导数；

第三类边界条件：

给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合。

对应于comsol，只有两种边界条件：

Dirichlet boundary（第一类边界条件）—在端点，待求变量的值被指定。

Neumann boundary（第二类边界条件）—待求变量边界外法线的方向导数被指定。

再补充点初始条件：

初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值．在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。

总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件！

诺伊曼边界条件

在数学中，诺伊曼边界条件（Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。

在常微分方程情况下，如

在区间[0,1]，诺伊曼边界条件有如下形式：

y'(0) = α1y'(1) = α2其中α1和α2是给定的数值。

一个区域上的偏微分方程，如

Δyy= 0(Δ表示拉普拉斯算子，诺伊曼边界条件有如下的形式

这里，ν表示边界处(向外的)法向；f是给定的函数。法向定义为

其中∇是梯度，圆点表示内积。

应力状态应力边界条件

应力边界条件即弹性体在外力作用下处于平衡状态的条件，是物体内部的各点的应力分量应满足平衡方程式，物体边界上各点也必须是平衡的。

由后者将导出应力边界条件。换言之，所谓应力边界条件就是在给定面力的边界上应力分量与面力分量之间的关系。

应力状态混合边界条件

混合边界条件有两种情况，一种情况是在物体的整个边界s上，一部分为已知应力，即给定应力的边界s ；另一种情况是在同一部分边界上已知部分位移和部分应力，即给定位移与应力混合边界条件。

对不同的边界情况，边界条件有所不同：

①固定边沿边缘各点的挠度和斜度均为零。在直角坐标系中，若x=a为固定边，则

②简支边（注：此处空格）沿简支边各点的挠度和弯矩M均为零。若x=a为简支边，则

③自由边（注：此处空格）沿自由边各点的弯矩和剪力V为零。若x=a为自由边，则

④自由角点（注：此处空格）若x=a，y=b是一个自由角点，则角点的反力R为零，即