薄板理论微分方程

薄板理论是一个近似理论。薄板挠度微分方程是以下面三个假设为基础的：①原垂直于板中面的线段仍垂直于变形后的中面；垂直于中面的正应力（见应力）远小于平行于中面的应力分量，故可以忽略；③在垂直于板中面的载荷作用下发生弯曲时，板中面不受拉伸。其中①和③称为基尔霍夫假设。根据这些假设导出的微分方程适用于小挠度情况，即挠度和板厚度相比为一小量。

在垂直于板中面的分布载荷作用下（图1），薄板挠度的微分方程为：

式中p（x，y）为垂直于板面的分布载荷；w为载荷作用下板中面各点沿z方向的位移（即挠度）；

为板的弯曲刚度，E为板材料的弹性模量，v为泊松比（见材料的力学性能）；t为板厚。

如果在板的中面内还有张力N_x、N_y和剪力N_xy（图2），则微分方程为：

如果薄板被弹性地基支承，根据温克勒假设，即地基的反作用力和沉陷深度成正比，则有：

式中k为地基的弹性模量。

对于正交各向异性板，弯曲面的微分方程为：

式中的D_x、H、D_y均为正交各向异性板的有关常数。

上述方程通过坐标变换还可写成其他形式，以便求解其他形状的板。例如通过极坐标变换，可得到求解各向同性圆板弯曲面的微分方程如下：

根据有关变形假设,建立板弯曲后中面的挠度微分方程,并利用边界条件求解,得出板中面的弯曲面，进而算出板的内力分量，如弯矩、扭矩、剪力，等等。

对不同的边界情况，边界条件有所不同：

①固定边沿边缘各点的挠度和斜度均为零。在直角坐标系中，若x=a为固定边，则

②简支边（注：此处空格）沿简支边各点的挠度和弯矩M均为零。若x=a为简支边，则

③自由边（注：此处空格）沿自由边各点的弯矩和剪力V为零。若x=a为自由边，则

④自由角点（注：此处空格）若x=a，y=b是一个自由角点，则角点的反力R为零，即

有两种途径，一是求出既满足微分方程又满足边界条件的精确解（如莱维法，纳维法）；二是当得不到精确解时，采用各种近似方法求解，例如有限元法、有限差分方法等数值方法和能量方法。出于工程实际的需要，人们对矩形板和圆板的研究较多。

小挠度薄板理论字面上是指板在荷载下挠度w与板厚h相比是一个微小量（w< 小挠度薄板理论理论划分

弹性力学中，一般将板划分为：

1. 薄膜

2. 厚板

3. 大挠度薄板

4. 小挠度薄板

小挠度薄板理论具体含义

1. 薄膜理论是指板极薄，板几乎没有抗弯曲能力。

2. 厚板理论是指板很厚，板上作用一荷载时，不能忽视板垂直于板的应力、应变，板弯曲后法线不再是直线。

3. 大挠度薄板理论是指板厚介于薄膜与厚板之间，可以忽略中间面上的横向应力、应变，可假设成纯弯曲，但挠度w与板厚h是同一量级，其计算方法十分复杂。

4. 小挠度薄板理论是指板厚介于薄膜与厚板之间，可以忽略中间面上的横向应力、应变，可假设成纯弯曲，而挠度w远远小于板厚h，则可以大大简化计算。

小挠度薄板理论应用

道路工程设计时所采用的一种设计理论，其实质是对研究对象进行一些假设，忽略某些影响因素，实际意义是为了简化理论计算进而得到数值解答。

在路面设计的生产实践中，试验证明，支承在土基上的7cm厚混凝土板（大于3m×3m），在施加荷载时，破裂时的最大挠度不会超过7mm，即板厚的十分之一，故水泥混泥土路面板和工厂地坪一般都能符合小挠度薄板的假设。

小挠度薄板理论指的是板在荷载下挠度w远远小于板厚h，且板处于厚板与薄膜之间属于纯弯曲变形范畴的理论假设。