板壳稳定性

一个在上下两边作用着压力 σ的薄板或薄筒壳，在压力比较小时，其内部产生压应力和相应的压应变,而不产生侧向挠度ω。该板或壳由原来的不受力状态转为一个受力的平衡状态。给这一平衡状态以小干扰,比如给一个小的侧向挠度,板或壳中就会产生相应于干扰的应力和应变。在干扰消除后，因干扰引起的应力和应变立刻消失并使板或壳恢复到受干扰前的状态，因而称开始的受力平衡状态为稳定平衡状态。如使σ不断增加并大于某一数值后,干扰所引起的小挠度将迅速扩大，板壳受力的这种平衡称为不稳定平衡。如果板壳所承受的外载荷从小值逐渐增大，则板壳将由稳定平衡过渡到不稳定平衡，在两种平衡之间存在着一种过渡状态,称为临界状态,或称随遇平衡状态。这一状态所对应的外载荷称为临界载荷,其大小称为临界值,板壳内的相应应力称为临界应力,记为σcr 。失稳临界应力值与结构的构造形式、边界条件、材料性能、载荷大小及分布情况等多种因素有关。在结构设计中，应保证结构内的应力不超过临界值。

稳定性理论和研究方法研究稳定性问题的理论可分为两类：一类是经典线性理论，即小挠度理论，其中的应变-位移和应力-应变之间都是线性关系。另一类是非线性理论，也叫大挠度理论,其中的应变-位移关系和应力-应变关系两者至少有一种是非线性的,前者的非线性称为几何非线性，后者的非线性称为物理非线性。板壳在弹性状态下的失稳问题一般是几何非线性问题。若在失稳前已出现塑性变形，则失稳问题中物理非线性和几何非线性一般是并存而且相互影响的。对于薄板，线性理论所计算出的临界压力值相当准确。对于壳体，实际临界压力值比用线性理论计算出的值要小，而且数值也很分散。在研究初始缺陷对失稳影响的基础上发展起来的初始缺陷理论，能很好地解释理论和实际间的差异。

在板壳稳定性问题中，最重要的内容是确定失隐临界压力，方法有三种：①静力学方法：列出微扰动的平衡微分方程，将问题归结为微分方程的本征值问题，求出本征值便可确定临界压力；②动力学方法：利用受微扰动后位移和位移速度不超出预先规定的界限的条件确定临界压力；③能量方法：利用势能最小值条件确定临界压力。

常见的板壳稳定性问题板和壳的形式是多种多样的，有平板、曲板、扁壳、圆筒壳、圆锥壳和各种形式的旋转壳。它们所承受载荷的形式不尽相同，有单向受压和双向受压，轴压和外压等。工程上最常见的皱损问题有：

① 平板的皱损　矩形平板在自身平面内沿一对边均匀受压下的临界压力公式为：

式中b为垂直于压力方向的板宽；K为系数，随板长、板宽和边界条件的变化而变化，对于四边简支方板，K=4；D=E

②圆筒壳的皱损　一个半径为R、长度为L、壁厚为t、两端简支的圆筒壳，在受轴向压力作用而失稳后，其挠度可表示为：

式中x和s分别表示沿圆筒母线和周线方向的坐标;m为沿母线出现的半波数，2n为沿周向出现的半波数，m和n均与圆筒壳的尺寸有关。上式表示的挠度变化情况可见图3。根据小挠度理论所计算出的临界应力为：

式中K为常数，其理论值为0.605,但实验表明实际的K值为理论值的1/5～1/2。薄壳的非线性理论就是在研究这种差异的背景下产生的。

③旋转壳体的皱损　学者们除研究板和圆筒壳外，还研究圆锥壳、截锥壳、球形壳、椭球壳等旋转壳体的稳定性，并得出临界应力的计算公式。这些公式多数是根据线性理论求出结果，再按照实际数据加以修正，以供工程技术人员使用。2100433B

平板的稳定性问题是G.H.布赖恩1891年首先进行论述的。他还用能量准则探讨了加劲板（见加劲板壳）受纯压的稳定性问题。以后，S.P.铁木辛柯根据随遇平衡的概念，借助弹性势能的变分来求临界压力。圆筒壳的弹性稳定性问题是从20世纪初开始研究的。W.弗吕格等人用壳体变形的小挠度理论求得圆筒壳轴压临界值。以后,匈牙利的T.von卡门和中国的钱学森又提出了非线性"跳跃理论"。M.施泰因等人在1962年以后的数年中研究了非线性前屈曲性能及其对于屈曲方程和临界压力的影响，他的研究成果肯定了小挠度理论的价值。

实际工程壳体中总存在缺陷，如波形缺陷和滑型缺陷等，它们都会影响稳定性。学者们在研究初始缺陷的基础上提出初始缺陷理论。这一理论可以较好地解释实际失稳临界值低于理论值这一现象。荷兰的W.T.科伊特在1945年提出非完善结构的稳定性准则，引出"初始缺陷敏感度"的概念。他的理论将缺陷敏感度与理想的完善结构的初始后屈曲性能联系起来，因而叫作初始后屈曲理论。这是一个普遍的非线性理论，包括判断临界点稳定性的充分和必要条件。

板壳的失稳形态基本上分为分支点失稳和极值点失稳两类。它们分别可用描述板壳中应力σ 和侧向挠度w之间关系的图1和图2表示。分支点失稳的特征是在板壳稳定平衡状态I（图1中曲线OA）附近存在另一个相邻的势能更小的平衡状态Ⅱ(曲线AD),而在分支点A处发生两种稳定性的转换，板壳中的应力与挠度的关系由实曲线OAD表示；极值点失稳没有上述的分支点,而板壳承载能力有一个最大的限度，压力达到这个限度，板壳的承载能力就突然下降并伴随出现较大变形（图2）。与分支点和极值点相应的压力值都称为板壳的临界压力或临界载荷，板壳中相应的压应力为临界应力。无论板还是壳，只要存在某种初始缺陷，一般来说，其失稳状态多数是极值点失稳，有时失稳问题转化为板壳的弯曲问题。

如图，其中加强的杆叫作加劲杆，又称加筋杆或加强肋。加劲杆的布局方式有多种，有等距加劲,不等矩加劲,单方向加劲和双方向加劲等。图为单向等距加劲板。有些加劲板壳是通过铆接将加劲杆固定在薄板或薄壳上,有些是用较厚的材料通过机械铣切或化学腐蚀等加工方法制成的。复合材料加劲板壳一般是将加劲杆粘接在薄板或薄壳上，再经加温固化而成。

和相同截面积的光板壳相比，加劲板壳截面的厚度增大，内力以较大的力臂组成反抗弯矩，所以在相同弯矩的作用下，加劲板壳中的应力比光板壳中的应力低得多，在光板壳开始破坏时，加劲板壳还能继续承载，即加劲板壳的强度较高；另一方面，加劲板壳比光板壳具有较大的截面惯性矩（见截面的几何性质），这意味着加劲板壳比光板壳具有较大的刚度。由于这些优点，加劲板壳广泛应用于飞机、船舶、桥梁、建筑以及仪表中。

夹层板壳的夹心（如蜂窝夹心、波纹夹心等）一般不是连续材料，但在研究夹层板壳的宏观问题时，可把它折合成连续材料。这样，夹层板壳就可以作为一般板壳来处理。实验表明，只要夹心构造尺寸（如蜂窝格子的边长、波纹板的波长等）远小于夹层板壳的最小平面宽度，这种处理就是合理的。严格地说，蜂窝状夹心的板壳是各向异性的，但差异不大，可近似地作为各向同性板壳来分析。

以夹层板为例，问题可归结为求解挠度ω 和垂直于中面(xy平面)的直线段在xz、yz平面内的转角ψx、ψy。为了简化上述三个量的求解，可将问题等价地化为求解两个位移函数ω和f，它们与ω、ψx、ψy之间的关系为：

式中D为夹层板的弯曲刚度；C为剪切刚度；

研究表明，夹层板的问题，可分解为普通板问题和几个弹性地基上的薄膜问题，其中普通板问题比较简单并已为人们所熟悉，而考虑不同的薄膜问题的差别就形成不同的夹层板理论，具有代表性的是：

①瑞斯纳理论　假设表层是一个仅能承受自身平面的内力而不能承受弯矩的薄膜，夹心只起抗剪作用。在这种假设下，描述夹层板弯曲问题的微分方程为：

式中p为分布载荷；νf为表层的泊松比（见材料的力学性能）。

②霍夫理论　假设表层是普通薄板，它满足基尔霍夫假设（见薄板理论），而夹心只承受剪切作用。这种夹层板的微分方程为：

式中的ω0、ω1与ω 有如下关系： 而D0=D 2Df，Df为表层的弯曲刚度；k则是与夹心厚度、表层厚度、C和D有关的参量。

③普鲁萨科夫-杜庆华理论　 假设表层是普通薄板，而夹心除承受剪切外，还可通过横向弹性变形承受垂直于板面的力。在此情况下，基本方程比霍夫理论多一个弹性地基上薄膜的方程。

对不同的结构和不同的受力情况应采用不同的理论。一般情况下，当求解夹层板的横向位移和整体失稳等工程问题时，采用瑞斯纳理论就够了。但在求解固支边界附近的应力和集中载荷作用下的夹层板等问题时，则要采用霍夫理论，或采用普鲁萨科夫-杜庆华理论。

现有夹层壳理论就其力学模型来说与夹层板理论类似，但由于曲率的存在,壳体的内力与挠度相互耦合,基本方程的数学表达式很复杂。以瑞斯纳理论为例，对于球壳或圆柱壳，相应的偏微分方程是10阶的,有5个边界条件。与夹层板类似，夹层壳的问题通常可分解为普通壳体的问题和一个弹性地基上薄膜问题。

1902～1914年，俄国学者..布勃诺夫对有纵横加劲杆的钢板作过应力分析。1915年，S.P.铁木辛柯首先建议用能量的观点来研究和解决各种载荷和边界条件下加劲板的弹性稳定性问题。

由于有了加筋杆，对加劲板壳的力学分析比对通常的光板壳要复杂得多。在分析加劲板壳时，可先近似地折合成通常的光板壳问题(如采用有效宽度概念)，然后用处理光板壳问题的方法进行计算。用这种方法计算加劲杆密集并对称分布于板中面两侧的问题误差较小。对于非密集加劲板壳问题则可采用能量方法，如瑞利－里兹法等。

近年来，借助电子计算机，可利用有限元法或有限差分方法对加劲板壳进行分析和计算。先进计算工具和计算方法的使用促进了加劲板壳的工程应用。