Beep函数

最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程：

根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。

在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程：

据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x，y)表示为：

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。

在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程：

式中Δ是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；fi为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：

式中ψ1、ψ2、ψ3、

函数ψ1、ψ2、ψ3、

方程(7)还有另一种形式的解，即

式中Fi满足下列方程：

函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、w。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F3=F(r，z)。这样由公式(10)可得到：

式中,即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：

公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。

在f1=f2=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、f表示如下：

式中F、f满足下列方程：

这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。