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更新时间：2025.01.19

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隔板法在排列组合中的应用

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在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。例 1. 求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。［分析］将 10 个球排成一排，球与球之间形成 9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。技巧一：添加球数用隔板法。 ○ ○ ○∣ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例 2. 求方程 X+Y+Z=10 的非负整数解的个数。［分析］注意到 x、y、z 可以为零，故上题解法中的限定 “每空至多插一块隔板 ”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给 x、y、z 各一个球。这样原问题就

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排列组合捆绑法插空法和插板法

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②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余 ; ③参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组。下面再给各位看一道例题：例 2.有 8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有 ( )种不同方法 . A.35 B.28 C.21 D.45 【解析】这道题很多同学错选 C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2 和例 1 的最大区别是：例 1 的每组元素都要求“非空”，而例2 则无此要求，即可以出现空盒子。其实此题还是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下：

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