网格曲面上测地B样条曲线设计方法与迁移重用研究

曲面上的曲线设计在 CAD/CAM、制造几何学中扮演着越来越重要的角色，广泛应用于刀具轨迹生成、机器人路径规划、曲面求交、曲面分割等领域，以及柔性制品的交互设计系统，是曲面空间形状设计的基础。为解决流形曲面上的曲线设计问题，将欧氏空间中的德布尔算法拓展到曲面空间，提出测地B样条的概念，在一下几个方面进行了较为深入的研究： 1）提出一种离散化测地线延长线计算方法。以网格曲面的拓扑邻接关系为基础，其计算量仅与延长线所经过的三角面个数有关，而与网格模型的整体规模无关，因而算法效率高。以该算法为基础，拓展出经过给定源点和初始方向的离散化测地线生成方法。2）针对曲线迁移重用过程中存在兴趣区域交互选取的问题，提出角度约束路径算法。该算法的计算量仅与两顶点间的局部区域有关，时间复杂度方面优于Dijkstra最短路径法。3）提出一种在网格曲面上计算点到曲线最近距离的方法。将经典B样条曲线的节点插入算法拓展到曲面空间，把测地B样条曲线分解为分段Bézier曲线的组合，利用拓展德卡斯特里奥算法的中间结果计算曲线的导矢，以此为基础，将欧氏空间中计算点在曲线上正交投影点的算法拓展到曲面空间，给出曲面空间中计算点在曲线上正交投影点计算方法，点与其对应正交投影点之间的测地距离即为点到曲线的最短距离。4）借助于测地B样条的概念，提出一种流形网格曲面上曲线等距线的计算方法。首先采用节点插入技术将源曲线分解为分段Bezier曲线，并进行线性化逼近，通过曲线细分策略使其误差控制在给定的容差1之内；提出一种给定源点和初始方向的离散化测地线构造算法，以此算法为基础，按照顶点等距方法，获得源曲线的初始等距线；以初始等距线作为控制多边形并适当插入一些顶点，构造满足给定容差2的G1连续分段Bezier曲线作为源曲线的等距线。等距曲线的整体逼近误差由1和2之和构成，因而可以实现误差的全局控制。5）提出一种流形网格曲面上曲线几何变换方法，包括：将欧氏空间中的对称定义拓展到曲面空间，提出了广义镜像的概念并给出了算法实现；提出一种流形网格曲面上曲线阵列复制方法，达到曲线快速、高效设计重用的目的；进一步将曲线特征拓展到三维自由形状特征，提出网格曲面上自由形状特征的设计重用方法。6）提出一种利用重用前后曲线控制顶点的归一化测地极坐标，在参数空间内进行形状匹配的曲线形状保持性评价方法，具备平移、旋转和缩放不变性。

曲面上的曲线设计在制造几何学、机器人路径规划和CAD/CAM等领域具有重要地位。项目将欧氏空间中的经典德布尔算法拓展到弯曲空间，形成与经典B样条曲线具有统一表示形式的、不依赖于网格参数化的曲面上自由曲线表达形式- - 测地B样条曲线。提出三角网格曲面上测地线的延长线概念和计算方法，采用测地误差几何补偿策略，进行测地B样条插值和交互设计方法研究，建立测地B样条曲线设计理论与方法，形成一种新的网格曲面上曲线的交互设计框架；提出以三角面片为度量单元的最小充分计算区域概念，研究曲面上点集的测地凸包子域的计算方法，使曲线生成计算量不依赖于父网格模型的规模，为测地B样条曲线的工程化应用提供支撑；基于离散微分算子，研究测地B样条曲线形状保持的几何属性表征与所需满足的充要条件，阐明测地B样条曲线形状保持性与对曲面形状适应性的协调机制，形成曲面上曲线的设计重用方法，为弯曲空间的形状设计与重用奠定基础。

本项目旨在建立一条从CAGD（计算机辅助几何设计）到CG（计算机图形学）的理论通道, 把本研究团队与合作单位的CAGD重要成果移植到CG. 近4年以来，我们以自己的研究成果为起点，瞄准“以已知曲线为公共特征线的曲面束”这个国际前沿热点作积极推广及持久攻关，在带有离散测地线/曲率线的网格曲面束、带有B样条曲率线/测地线的NURBS曲面束、NURBS曲面导矢界，以及网格补洞/求交/变形、网格误差的区间分析、渐进迭代逼近、细分、曲线重构/参数化等离散型或连续型曲面的特征计算的理论研究与实际应用中取得了一批崭新成果，推导了一系列定理与算法，为CAD与CG提供了高质高效的工具，顺利完成了预定计划.本研究共发表1篇SCI论文，10篇EI论文，1本专著，1本专著的完整1章，2篇国际国内会议论文，以及其它10篇国内外期刊论文；其中2篇论文获得最佳学生论文奖，1人获几何设计与计算杰出贡献奖；培养毕业硕士生8人.本项目的独创新颖性在于，它与以往已知网格求离散测地线或离散差分值的操作走向完全相反，将给用户提供更广泛与更合适的网格选择；而网格曲面或NURBS曲面的这些特征计算则前所未有，将揭示相应曲面的崭新的几何及代数特征，显著地强化软件系统功能. 2100433B

计算机辅助几何设计(CAGD)在服务对象、数据量度、表现手段、理论支撑上不同于计算机图形学(CG), 然而其数学沉淀更为深厚, 可给CG以更多影响与支持. 本申请旨在建立一条从CAGD到CG的理论通道, 把本研究团队近年CAGD重要成果移植到CG, 以网格的曲面束、测地距离场、调和算子、曲率线和梯度界等为突破口，进行网格的3项逆向设计与3项特征计算研究. 具体来说就是: 具有公共离散测地线的网格曲面束设计, 以空间闭多边形为边界的调和网格曲面设计,保离散测地线与(或)保离散曲率线的网格曲面简化, 网格曲面的离散曲率线计算, 离散测地环高精度计算, 以及1,2阶梯度界估计. 本项目的独创新颖性在于,它与以往已知网格求离散测地线或离散差分值的操作走向完全相反, 将给用户提供更广泛与更合适的网格选择; 而网格曲面的这些特征计算则前所未有, 将揭示网格崭新的几何及代数特征,显著地强化软件系统功能.

以复杂三角网格曲面五轴高效加工轨迹规划为研究目标，提出基于离散曲面上曲线黎曼测地推进的高效曲面加工理论和方法，引入加工过程约束，获取三角网格曲面的内蕴几何信息，规划出高效加工轨迹，为测量-数控加工一体化、薄壁曲面零件的闭环自适应加工、有限元优化设计与数控加工的直接集成等领域提供理论和技术基础。.研究内容：1）定义反映刀具有效切削宽度的黎曼度量，研究三角网格曲面上黎曼度量意义下曲线的测地推进算法，获得曲面上与数控加工相关的内蕴几何信息，突破传统方法中把三角网格曲面问题简化为平面问题处理的局限性；2）研究刀具轨迹对加工过程动态特性和物理因素的影响机理和仿真模型，把相关约束引入黎曼测地推进过程中，使刀具轨迹同时满足几何约束和加工过程约束；3）在测地推进基础上，将平面域高效轨迹规划方法推广到曲面，以提高平均进给率、稳定切削力和减少刀具磨损为目标，研究面向五轴高效加工的轨迹规划方法。