平衡二叉树

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

Treap是一棵二叉排序树，它的左子树和右子树分别是一个Treap，和一般的二叉排序树不同的是，Treap纪录一个额外的数据，就是优先级。Treap在以关键码构成二叉排序树的同时，还满足堆的性质(在这里我们假设节点的优先级大于该节点的孩子的优先级)。但是这里要注意的是Treap和二叉堆有一点不同，就是二叉堆必须是完全二叉树，而Treap并不一定是。

伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。

Size Balanced Tree(简称SBT)是一自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。它是由中国广东中山纪念中学的陈启峰发明的。陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》，并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音，它常被中国的信息学竞赛选手和ACM/ICPC选手们戏称为"傻B树"、"Super BT"等。相比红黑树、AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。据陈启峰在论文中称，SBT是"目前为止速度最快的高级二叉搜索树"。SBT能在O(log n)的时间内完成所有二叉搜索树(BST)的相关操作，而与普通二叉搜索树相比，SBT仅仅加入了简洁的核心操作Maintain。由于SBT赖以保持平衡的是size域而不是其他"无用"的域，它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank操作。

我们知道，对于一般的二叉搜索树(Binary Search Tree)，其期望高度(即为一棵平衡树时)为log2n，其各操作的时间复杂度(O(log2n))同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下(如在插入的序列是有序的时)，二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。

平衡二叉搜索树(Balanced Binary Tree)具有以下性质:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O(log(n))，大大降低了操作的时间复杂度。

是程序算法中的一种算法模式。

在二叉树中出现空的子树（包括树叶）上增加空的树叶，使其成为满二叉树的二叉树称之为扩充二叉树。

1

/ \

2 3

\ /

4 5 是均衡二叉树，因为它去掉叶结点及相应的树枝后，

变成了：

1

/ \

2 3 ，这是一个二叉树。

1

/ \

2 3

而 \ / \ 则不是，因为它去掉叶结点及相应的树枝后，

4 5 6

/

7

变成了：

1

/ \

2 3

\

4

很显然，这并不是一个完全二叉树。

完全二叉树(Complete Binary Tree)

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

一棵二叉树至多只有最下面的一层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。