流体力学中耦合方程若干问题的研究结题摘要

本项目拟对流体力学中出现的微宏观模型（流体/粒子系统和凝聚态复杂流体），粘弹性流体模型以及dipersive Navier-Stokes 方程等耦合方程的整体适定性以及模型的渐进性态等若干问题进行研究。项目的进展顺利并取得了阶段性的成果。这其中包括有界区域上2维不可压缩NS方程的弱解的全新的光滑性估计及其应用，临界空间上Oberbeck-Boussinesq逼近的正当性理论，Boltzmann方程在Sobolev空间上的适定性理论以及Boltzman到Landau方程的Grazing collisions limit.这些结果相应的发表在数学杂志J.Fuct.Anal.，Asym.Anal., Arch. Ration. Mech. Anal.和 Commun. Math. Phys.上。 2100433B

本项目拟对流体力学中出现的微宏观模型（流体/粒子系统和凝聚态复杂流体），粘弹性流体模型以及dipersive Navier-Stokes方程等耦合方程的整体适定性以及模型的渐进性态等若干问题进行研究。对于多尺度模型，项目的研究主要集中在利用微宏观方程的耦合效应，找出系统强解的爆破机制，建立爆破时空估计并证明系统整体解的存在性和稳定性。同时也将研究耦合系统长时间的渐进行为以及相应的的收敛速度。另外，基于全局存在性的结果，将研究从cut-off Boltzmann方程出发到dispersive Navier-Stokes方程的流体力学极限过程，并建立极限过程的全局误差估计。本项目对上述问题的研究，有助于对现实中流体的物理现象的认识，并能不断完善和发展新的理论，从而既可以对指导实际问题提供重要的参考价值又可以不断丰富偏微分方程的理论内容。

描述各耦合模幅度关系的一阶常微分方程组

式中Ai为耦合系统中第i个模的幅度;在耦合传输线问题中Kij=jβi，在耦合振荡问题中Kij=jωi,βi和ωi分别为模式i的相移常数和振荡频率;Kij(i厵j)为耦合系数,在传输线问题中是空间坐标z的函数,在振荡问题中是时间t的函数,是单位耦合长度或单位时间内由单位幅度的模j所激发的模i的幅度。将方程组 (1)写成矩阵形式

式中A为列矩阵，k为耦合系数方阵。

耦合模方程的解 　根据耦合系数和边界条件的具体情况得出。耦合能力Qij表示模式i和j之间的耦合强弱。对于非周期性耦合

本项目主要研究流体力学中两类非线性偏微分方程的问题，其一是在天体物理、等离子物理、核物理等广泛的领域中都有用武之地相对论流体力 本项目主要研究流体力学中两类非线性偏微分方程的问题，其一是在天体物理、等离子物理、核物理等广泛的领域中都有用武之地相对论流体力学Euler 方程组，其二是在多孔介质的两相流、沉降－固化过程等问题的研究中有重要应用的退化扩散－对流方程（数学上是二阶非线性退化抛物－双曲方程）。这两种非经典的偏微分方程（组）的数学理论的研究还存在着艰巨的困难。对项目在前人工作和本人前期工作的基础上，重点研究了包括3×3完整系统相对论Euler方程组，高维问题（首先研究球对称情形），相对论效应（探讨与经典Euler方程组的本质区别），退化抛物-双曲方程定解问题的适定性（特别是一般各项异性退化情形以及初边值问题）等较为困难的问题，取得了若干有意义的研究成果。

流体力学中有无数有趣而且有意义的非线性偏微分方程的问题值得研究和探讨,本项目主要研究两个重要的例子，其一是在天体物理、等离子物理、核物理等广泛的领域中都有用武之地相对论流体力学Euler方程组，其二是在多孔介质的两相流、沉降－固化过程等问题的研究中有重要应用的退化扩散－对流方程（数学上是二阶非线性退化抛物－双曲方程）.然而, 这两种非经典的偏微分方程（组）的数学理论的研究还存在着艰巨的困难，有待成熟. 为此, 我们有必要发展新的思想, 技巧和方法，深入地研究其数学结构和特性,为推动其数学理论的基础和应用研究做出一些贡献. 本项目的主要研究内容有适定性理论(包括解的存在性、唯一性、稳定性等)以及各种数值格式的收敛性和误差估计。